Matemática discreta Ejemplos

$M [\begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 5 \end{array}]$

Paso 1

Multiplica $M$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} M \cdot 3 & M \cdot 1 \\ M \cdot 1 & M \cdot 5 \end{array}]$

Paso 2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 2.1

Mueve $3$ a la izquierda de $M$ .

$[\begin{array}{c} 3 M & M \cdot 1 \\ M \cdot 1 & M \cdot 5 \end{array}]$

Paso 2.2

Multiplica $M$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 M & M \\ M \cdot 1 & M \cdot 5 \end{array}]$

Paso 2.3

Multiplica $M$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 M & M \\ M & M \cdot 5 \end{array}]$

Paso 2.4

Mueve $5$ a la izquierda de $M$ .

$[\begin{array}{c} 3 M & M \\ M & 5 M \end{array}]$

Paso 3

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 4

Find the determinant.

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 M (5 M) - M \cdot M$

Paso 4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \cdot 5 M \cdot M - M \cdot M$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $M$ por $M$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.2.1

Mueve $M$ .

$3 \cdot 5 (M \cdot M) - M \cdot M$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $M$ por $M$ .

$3 \cdot 5 M^{2} - M \cdot M$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $3$ por $5$ .

$15 M^{2} - M \cdot M$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $M$ por $M$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.4.1

Mueve $M$ .

$15 M^{2} - (M \cdot M)$

Paso 4.2.1.4.2

Multiplica $M$ por $M$ .

$15 M^{2} - M^{2}$

Paso 4.2.2

Resta $M^{2}$ de $15 M^{2}$ .

$14 M^{2}$

Paso 5

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 6

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{14 M^{2}} [\begin{array}{c} 5 M & - M \\ - M & 3 M \end{array}]$

Paso 7

Multiplica $\frac{1}{14 M^{2}}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{14 M^{2}} (5 M) & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Paso 8

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 8.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$[\begin{array}{c} 5 \frac{1}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Paso 8.2

Combina $5$ y $\frac{1}{14 M^{2}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $M$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $M$ de $14 M^{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Paso 8.3.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Paso 8.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M^{2}} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Paso 8.5

Cancela el factor común de $M$ .

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Paso 8.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{14 M^{2}}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{14 M^{2}} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Paso 8.5.2

Factoriza $M$ de $14 M^{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{M (14 M)} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Paso 8.5.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{M (14 M)} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Paso 8.5.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{14 M} \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Paso 8.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Paso 8.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Paso 8.8

Cancela el factor común de $M$ .

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Paso 8.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{14 M^{2}}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Paso 8.8.2

Factoriza $M$ de $14 M^{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Paso 8.8.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Paso 8.8.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{14 M} & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Paso 8.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Paso 8.10

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & 3 \frac{1}{14 M^{2}} M \end{array}]$

Paso 8.11

Combina $3$ y $\frac{1}{14 M^{2}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{14 M^{2}} M \end{array}]$

Paso 8.12

Cancela el factor común de $M$ .

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Paso 8.12.1

Factoriza $M$ de $14 M^{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{M (14 M)} M \end{array}]$

Paso 8.12.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{M (14 M)} M \end{array}]$

Paso 8.12.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{14 M} \end{array}]$